Download Monte Carlo-Algorithmen by Thomas Müller-Gronbach, Erich Novak, Klaus Ritter PDF

By Thomas Müller-Gronbach, Erich Novak, Klaus Ritter

Der textual content gibt eine Einführung in die Mathematik und die Anwendungsmöglichkeiten der Monte Carlo-Methoden und verwendet dazu durchgängig die Sprache der Stochastik. Der Leser lernt die Grundprinzipien und wesentlichen Eigenschaften dieser Verfahren kennen und wird dadurch in den Stand versetzt, dieses wichtige algorithmische Werkzeug kompetent einsetzen und die Ergebnisse interpretieren zu können. Anhand ausgewählter Fragestellungen wird er außerdem an aktuelle Forschungsfragen und -ergebnisse in diesem Bereich herangeführt. Behandelt werden die direkte Simulation, Methoden zur Simulation von Verteilungen und stochastischen Prozessen, Varianzreduktion, sowie Markov Chain Monte Carlo-Methoden und die hochdimensionale Integration. Es werden Anwendungsbeispiele aus der Teilchenphysik und der Finanz- und Versicherungsmathematik präsentiert, und anhand des Integrationsproblems wird gezeigt, wie sich die Frage nach optimalen Algorithmen formulieren und beantworten lässt.

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Direkte Simulationen werden hier zur Uberpr¨ ufung von vorhandenen und Aufstellung von neuen Hypothesen eingesetzt. Klee selbst hat den Wert 1/60 f¨ur V3 (Tetraeder) vermutet, eine naheliegende Fortsetzung der bekannten Gr¨oßen 1/3 f¨ur d = 1 und 1/12 f¨ur d = 2. 01721 liefern, siehe Reed [163] und Do, Solomon [46]. Die Vermutung von Klee wird deshalb von Croft, Falconer, Guy [39, S. 01754 ge¨andert. 01739 gilt, siehe auch Reitzner [164]. Der Beweis von Mannion beruht auf dem intensiven Einsatz eines Computeralgebra-Systems zur Berechnung von Integralen, so daß der Autor eine direkte Simulation mit 4 · 108 Wiederholungen zur Untermauerung obigen Resultats durchf¨uhrt.

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, daß die Verteilungsfunktionen der standardisierten Summen D∗n gleichm¨aßig gegen die Verteilungsfunktion ) konvergieren, d. h. 8]. Damit liegt insbesondere Konvergenz in Verteilung vor, und man sagt kurz, daß die Zufallsvariablen D∗n asymptotisch standardnormalverteilt sind, oder, daß die Zufallsvariable Dn asymptotisch normalverteilt ist mit Erwartungswert a und Varianz V 2 (Y )/n. 7. Sei Y ∈ L2 mit V (Y ) > 0. Dann gilt √ lim sup P |Dn − a| ≥ D / n n→f D ≥0 f u exp(−x2 /2) dx , − < (D /V (Y )) = 0 .

N} und f : G → {0, 1}. F¨ur A ⊂ G setzen wir f [A] = ¦ f (x). x∈A Sei Yn eine auf Gn = {A ⊂ G | |A| = n} gleichverteilte Zufallsvariable, d. , es gilt Aufgaben 25 P({Yn = A}) = 1 N n f¨ur alle A ∈ Gn . Zeigen Sie, daß die Zufallsvariable f [Yn ] hypergeometrisch mit den Parametern N, K = f [G] und n verteilt ist. b) Zeigen Sie E(X ) = nK , N V 2 (X ) = n (N − n) (N − K) K N 2 (N − 1) f¨ur den Erwartungswert und die Varianz einer hypergeometrisch mit den Parametern N, K und n verteilten Zufallsvariablen X .

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